機率筆記 (4) — 隨機變數


1.     隨機變數 (random variable) 是將一個實數與樣本空間中的每個元素做連結的變數, 可分為離散discrete (可數count)和連續continuous (量測measured)

2.     對於隨機變數 X, 以f(x)表示其所有數值x的機率, 序對 (x, f(x)) 的集合稱為隨機變數 X 的機率 質量函數 PMF (probability mass function)

3.     累積分布函數 CDF (cumulative distribution function) F(x) = P(X ≦ x)
計算隨機變數 X 的數值小於或等於某實數 x 的機率
      是單調不遞減函數

4.     考慮連續: 探討的是隨機變數的一段區間而不是一個點的數值, 且區間的末端點是否包含進來並不重要, 此時f(x) 稱為機率密度函數 PDF (probability density function)

5.     連續的 CDF F(x) = P(X ≦ x), 所以P(a<X<b) = F(b) - F(a)

6.     連續的 PDF f(x)和 CDF F(x)互為微積分關係, PDF 積分變 CDF (從   -∞ 積到 x ) , CDF 微分變 PDF


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離散數學筆記 — vertex cut

1.  在圖   G  中，如果去掉一點   v ，剩下的圖   G  產 生比 圖   G  更多   connected component ，那 麼 這個點就 是   cut vertex 。但是在   complete graph 裡，找不到這 麼 一個 點   v  可以生成更多的   connected component ，所以   complete graph  並沒有   cut vertex 。 ( e.x. K4  去掉任一點只會變成  K3 ， 它 還是只有一個連通 圖   ) 2. Vertex cut  則是由點組成的一個集合，去掉這些點，剩下的圖   G  就會變成   disconnected 。 3. Vertex connectivity ，即   k(G) ，則是指最少要去掉幾個點，也就是   vertex cut  的最小數目，剩下的圖   G  會變成   disconnetced ，或是變成只剩單獨一點 。 (  因 為   vertex cut  可能有包含很多點，但其實用不著那 麼 多個點就能讓剩下的 圖   G  變成   disconnected ，所以另外定義   k(G)  ) e.x.  (1) k(K4)=3 — 因 為   complete graph  沒有   vertex cut ，所以   k(Kn) = n-1 ，讓 它 變成單獨一 點         (2) k(C4)=2 — 拿掉對角線兩個點，可另外推得當 n ≧ 3 ， k(Cn)=2         (3) k(W4)=3 — 拿掉中間和對角線兩個點         (4) k(K2,3)=2 — 拿掉其中一邊的所有點，讓另一邊的點彼此連不起來，可另外推得   k(Km,n)=min(m,n)         (5) k(Q3)=3 — 拿掉底部正方形對角線兩點後，再拿掉上層另外一邊的對角線其中一點，可另外推得  k(Qn)=n
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機率筆記 (1)

1. Probability is based on a repeatable experiment ，其中 experiment = procedure + observation 。例如為了知道買 A 款和 B 款手機的機率，procedure 就是到店裡調查，observation 為觀察下一個客人是買哪款手機。注意即使 procedure 一樣，若 observation 不同 ( 即有興趣的點不同 )，則實驗就不相同。此時所得的 model 屬於 equal likely，因為客人沒有特別偏好， A 和 B 的機率差不多。另外， outcome 為一次實驗所得的特定結果， event 為某一組 outcome 的集合。 2.  (1) Mutually exclusive sets ( 互斥 ) : 代表集合間的交集為空集合。( 重要 , 很多概念由此衍生 )       p.s. 若一事件的發生並不影響另一事件，則稱為獨立事件。      (2) Collectively exhausive sets ( 周延 ) : 代表進行某次實驗所得的結果一定在這些集合裡面。      (3) Partition : mutually exclusive 和 collectively exhausive 同時滿足。 3. Sample space : 把所有 outcome 集合起來，須滿足 3 個條件 —     (1) mutually exclusive     (2) collectively exhausive   (3) finest - grain     finest - grain : all possible distinguishable outcomes are identified separately ( 代表須為最小單位 ) 4. outcome、event、sample space 的關係 :     (1) outcome — element     (2) event — set     (3) sample space — universal set 參考資料來源 — Probability and Stochastic Processes: A Friendly Introduction f
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